Valor absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real
Note que, por definición, el valor absoluto de
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Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real
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Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto de un número complejo
es la distancia
desde
al origen. Aquí vemos que
y su conjugado
tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
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De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
Con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, siProgramación del valor absoluto
En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto esabs()
. Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C
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